纸上谈兵: 图 (graph)

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作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢!

图(graph)是有一种比较松散的数据行态。它有许多节点(vertice),在许多节点之间,由(edge)相连。节点的概念在树中也再次总出 过,当当让我们 歌词 歌词 通常在节点中储存数据。边表示另另一一一六个多节点之间的占据 关系。在树中,当当让我们 歌词 歌词 用边来表示子节点和父节点的归属关系。树是有一种特殊的图,但限制性更强许多。

原来的有一种数据行态是很常见的。比如计算机网络,却说由许多节点(计算机可能路由器)以及节点之间的边(网线)构成的。城市的道路系统,也是由节点(路口)和边(道路)构成的图。地铁系统能能 只有理解为图,地铁站能只有认为是节点。基于图有许多经典的算法,比如求图中另另一一一六个多节点的最短路径,求最小伸展树等。

图的经典研究是柯尼斯堡七桥问题(Seven Bridges of Königsberg)。柯尼斯堡是现今的加里宁格勒,城市涵盖每根绳子 河流过,河涵盖另另一一一六个多小岛。有七座桥桥连接河的两岸和另另一一一六个多小岛。送信员总想知道,有没另另一一一六个多多最好的法律依据,能不重复的走过7个桥呢?

(有一种问题在许多奥数教材中称为"一笔画"问题)

欧拉时代的柯尼斯堡地图

柯尼斯堡的能只有看作由7个边和另另一一一六个多节点构成的另另一一一六个多图:

有一种问题最终被欧拉巧妙的解决。七桥问题也启发了一门新的数学得科——图论(graph theory)的诞生。欧拉的基本思路是,可能某个节点就有起点可能终点,没哟连接它的边的数目须要为偶数个(从另另一一一六个多桥进入,再从原来桥离开)。对于柯尼斯堡的七桥,可能另另一一一六个多节点都为奇数个桥,而最多只有有另另一一一六个多节点为起点和终点,好多好多 可能一次走完。

图的定义

严格的说,图[$G = (V, E)$]是由节点的集合V和边的集合E构成的。另另一一一六个多图的所有节点构成另另一一一六个多集合[$V$]。另另一一一六个多边能只有表示为[$(v_1, v_2)$],其中[$v_1, v_2 \in V$],即另另一一一六个多节点。可能[$(v_1, v_2)$]有序,即[$(v_1, v_2)$]与[$(v_2, v_1)$]不同,没哟图是有向的(directed)。有序的边能只有理解为单行道,只有沿另另一一一六个多方向行进。可能[$(v_1, v_2)$]无序,没哟图是无向的(undirected)。无序的边能只有理解成双向都能只有行进的道路。另另一一一六个多无序的边能只有看作连接相同节点的另另一一一六个多反向的有序边,好多好多 无向图能只有理解为有向图的有一种特殊情況。

(七桥问题中的图是无向的。城市中的公交线路能只有是无向的,比如占据 单向环线)

图的另另一一一六个多路径(path)是图的一系列节点[$w_1, w_2, ..., w_n$],且对于[$1 \le i < n $],有[$ (w_i, w_{i+1}) \in E$]。也却说说,路径是一系列的边连接而成,路径的两端为另另一一一六个多节点。路径里边的总数称为路径的长度。乘坐地铁时,当当让我们 歌词 歌词 会在确定某个路径,来从A站到达B站。原来的路径可能有不止每根绳子 ,当当让我们 歌词 歌词 往往会根据路径的长度以及沿线的拥挤情況,来确定每根绳子 最佳的路线。可能占据 每根绳子 长度大于0的路径,该路径的两端为同一节点,没哟认为该图中占据 环路(cycle)。很明显,上海的地铁系统中占据 环路。

 

找到每根绳子 环路

可能从每个节点,到任意另另一一一六个多其它的节点,就有每根绳子 路径句子,没哟图是连通的(connected)。对于另另一一一六个多有向图来说,原来的连通称为强连通(strongly connected)。可能另另一一一六个多有向图不满足强连通的条件,但将它的所有边都改为双向的,此时的无向图是连通的,没哟认为该有向图是弱连通(weakly connected)。

可能将有火车站的城市认为是节点,铁路是连接城市的边,原来的图可能是不连通的。比如北京和费城,北京有铁路通往上海,费城有铁路通往纽约,但北京和费城之间没哟路径相连。

图的实现

有一种简单的实现图的最好的法律依据是使用二维数组。让数组a的每一行为另另一一一六个多节点,该行的不同元素表示该节点与许多节点的连接关系。可能[$(u, v) \in E$],没哟a[u][v]记为1,但会 为0。比如下面的另另一一一六个多涵盖另另一一一六个多节点的图:

 

能只有简单表示为

a 1 2 3
1 0 1 1
2 0 0 0
3 0 1 0

有一种实现最好的法律依据所占据 的空间为[$O(|V|^2)$],[$|V|$]为节点总数。所需内存随着节点增加而很慢增多。可能边就有很密集,没哟好多好多 数组元素记为0,只有稀疏的许多数组元素记为1,好多好多 并就有很经济。

更经济的实现最好的法律依据是使用,即记录每个节点所有的相邻节点。对于节点m,当当让我们 歌词 歌词 建立另另一一一六个多链表。对于任意节点k,可能有[$(m, k) \in E$],就将该节点中中放对应节点m的链表中。邻接表是实现图的标准最好的法律依据。比如下面的图,

 

能只有用如下的数据行态实现:

 

左侧为另另一一一六个多数组,每个数组元素代表另另一一一六个多节点,且指向另另一一一六个多链表。该链表包涵盖该数组元素所有的相邻元素。

总体上看,邻接表能只有分为两部分。邻接表所占据 的总空间为[$O(|V| + |E|)$]。数组部分储存节点信息,占据 [$|V|$])的空间,即节点的总数。链表存储边的信息,占据 [$|E|$]的空间,即边的总数。在许多多样化的问题中,定点和边还可能有许多的附加信息,当当让我们 歌词 歌词 能只有将那些附加信息储占据 相应的节点可能边的位置。

下面为具体的C代码:

/* By Vamei */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define NUM_V 5

typedef struct node *position;

/* node */
struct node {
    int element;
    position next;
};

/* 
 * operations (stereotype)
 */
void insert_edge(position, int, int);
void print_graph(position graph, int nv);

/* for testing purpose */
void main()
{
    struct node graph[NUM_V];
    int i;

    // initialize the vertices
    for(i=1; i<NUM_V; i++) {
        (graph+i)->element = i;
        (graph+i)->next    = NULL;
    }

    // insert edges
    insert_edge(graph,1,2);
    insert_edge(graph,1,4);
    insert_edge(graph,3,2);
    insert_edge(graph,4,2);
    insert_edge(graph,4,3);

    print_graph(graph,NUM_V);
}

/* print the graph */
void print_graph(position graph, int nv) {
    int i;
    position p;
    for(i=1; i<nv; i++) {
        p = (graph + i)->next;
        printf("From %3d: ", i);
        while(p != NULL) {
            printf("%d->%d; ", i, p->element);
            p = p->next;
        }
        printf("\n");
    }
}

/*
 * insert an edge
 */
void insert_edge(position graph,int from, int to)
{
    position np;
    position nodeAddr;

    np = graph + from;

    nodeAddr = (position) malloc(sizeof(struct node));
    nodeAddr->element = to;
    nodeAddr->next    = np->next;
    np->next = nodeAddr;
}

运行结果:

From   1: 1->4; 1->2;

From   2:

From   3: 3->2;

From   4: 4->3; 4->2;

里边的实现主要基于链表,可参考纸上谈兵: 表 (list) 。

总结

图是有一种很简单的数据行态。图的组织最好的法律依据比较松散,自由度比较大,但也造成比较高的算法多样化度。我将在但是 介绍许多图的经典算法。

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